Materi Peluang SMP

PELUANG

Teori Peluang adalah sebuah ilmu matematika yang dipopulerkan oleh Blaise Pascal dan dikembangkan oleh Pierre de Format pada abad ke-17. Banyak sekali bidang dari teori peluang.

Sejarah lahirnya teori peluang dimulai pada tahun 1952. Saat itu, seorang bangsawan Perancis (penggemar matematika) yang bernama Chevalin de Mere bertemu dengan ahli filsafat dan agama Blaise Pascal dalam sebuah perjalanan. Pada kesempatan itu, Chevalin De Mere menanyakan sejumlah persoalan tentang matematika kepada Blaise Pascal. Pertanyaan Chevalin De Mere adalah bagaimana cara membagi hasil (hadiah) taruhan permainan dadu jika harus berhenti di tengah-tengah permainan. Pertanyaan tersebut sebenarnya prtanyaan yang sudah sering dicoba untuk dijawab oleh banyak ahli matematika seperti Luca Pacioli pada tahun 1694 dan Nicolo Tartaglia pada abad ke-16. Tetapi, jawaban dari kedua ahli tersebut dianggap Chevalin De Mere belum memuaskan.

Setelah Blaise Pascal cukup lama memikirkan jawabannya, pada tahun 1654 Blaise Pascal meminta bantuan  kepada temannya yang bernama Piere de Fermat, seorang ahli hukum untuk menjawabnya. Akhirnya, setelah bersama-sama berusaha memecahkan pertanyaan tersebut, muncullah cabang ilmu matematika baru, yaitu teori peluang atas dasar pemikiran Blaise Pascal dan Piere De Fermat yang sampai sekarang terus berkembang.

Peluang  sebenarnya telah masuk dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, pada permainan ular tangga yang sering dimainkan oleh anak-anak. Pada permainan tersebut, terdapat dadu yang dilambungkan secara bergantian. Misalkan ada seorang anak bernama Ani dan Putri yang sedang bermain ular tangga. Ketika giliran Ani melambungkan dadu, Ani dan Putri sama-sama tidak tahu-menahu dadu mana yang akan muncul. Kemungkinan mata dadu yang muncul bisa 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Nah, kemungkinan mata dadu yang bisa muncul tersebut dalam matematika disebut dengan peluang.  Pada pstingan ini, akan dibahas mengenai peluang dari suatu percobaan.

Sebelum  masuk dalam pembahasan kita akan mempelajari dahulu apa yang dinamakan percobaan. Percobaan atau eksperimen adalah suatu kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan. Contohnya, melemparkan dadu, melemparkan mata uang atau koin, dan lain-lain.

Dalam pembahasan materi peluang ini, akan dibahas mengenai ruang sampel dan titik sampel, kejadian, frekuensi relatif, dan yang terakhir peluang suatu kejadian.

1.       Ruang dan Titik Sampel

Dalam pelambungan sebuah dadu, hal yang mungkin terjadi berupa munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi, yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6} disebut ruang sampel. Setiap anggota ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel suatu percobaan dapat dicari (ditentukan) dengan menggunakan tabel atau diagram pohon.

a.       Ruang Sampel Pelambungan Dua Keping Uang Logam

Menentukan ruang sampel dengan tabel

Menentukan ruang sampel dengan diagram pohon

Ruang sampel: S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)

Terdapat empat titik sampel: n(S) = 4

Banyak anggota ruang sampel n(S) dapat dicari dengan cara berikut.

Satu keeping uang logam mempunyai dua sisi yang mungkin muncul saat dilambungkan. Oleh karena itu, pelambungan dua keping uang logam, banyak anggota ruang sampel n(S) = 2 x 2 = 4

b.      Ruang Sampel Pelambungan Dua Dadu

(1, 1) adalah titik sampel

(3, 4) adalah titik sampel

(5, 6) adalah titik sampel

(6, 6) adalah titik sampel

Pada pelambungan dua buah dadu ini terdapat 36 kemungkinan titik sampel yang muncul.

Setiap dadu mempunyai 6 mata dadu yang mungkin muncul. Dengan cara seperti di atas:

Banyak anggota ruang sampel = banyak titik sampel

 = n(S)

 = 6 x 6 = 36

c.       Ruang Sampel Pelambungan Sekeping Uang Logam dan Sebuah Dadu

Jika n(S) adalah banyak kejadian yang muncul pada pelambungan sekeping uang logam dan sebuah dadu maka n(S) = 2 x 6 = 12.

2.       Kejadian

Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dinotasikan dengan huruf kapital seperti K, A, atau B. banyak anggota kejadian K dinyatakan dengan n(K). Kejadian selain K merupakan kejadian munculnya selain titik-titik sampel pada K dalam ruang sampel S. Kejadian selain dinotasikan dengan K’ atau K^c (dibaca: komplemen K). Banyak anggota kejadian selain K dinyatakan dengan n(K’) atau n(K^c). Oleh karena K’ adalah kejadian munculnya selain titik-titik sampel K dalam ruang sampel S maka sehingga n(K) + n(K’) = n(S)

Misalkan K = kejadian muncul mata dadu kelipatan 3 pada satu kali pelambungan sebuah dadu, maka:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(S)= 6

K = {3, 6}; n(K) = 2

K’ = (1, 2, 4, 5); n(K’) = 4

Atau

n(K) + n(K’) = n(S)

  n(K’) = n(S) – n(K)

  n(K’) = 6 – 2

  n(K’) = 4

3.       Frekunsi Relatif

Misalkan ketika anak-anak bermain ular tangga, setiap anak melambungkan dadu dicatat mata dadu yang muncul. Hingga pelambungan dadu ke-90 diperoleh hasil seperti berikut.

Data hasil pelambungan dadu di atas dapat dihitung nilai perbandingan antara frekuensi muncul setiap mata dadu dengan banyak percobaan sebagai berikut.

Nilai dinamakan frekuensi relative (f_r) atau peluang empiris. Misalkan dalam N kali percobaan kejadian A muncul n(A) kali, maka frekuensi relative kejadian A dapat dirumuskan :

4.       Peluang Suatu Kejadian

Pengertian peluang kejadian A dalam suatu percobaan yaitu kesempatan atau seberapa mungkin kejadian A itu terjadi  (muncul, terpilih, terambil, dan sebagainya). Tingkat kemungkinan kejadian diartikan sebagai nilai peluang. Nilai peluang kejadian A merupakan hasil bagi antara banayk anggota kejadian A atau n(A) dengan banyak anggota ruang sampel atau n(S), ditulis:

Selanjutnya, nilai peluang disebut dengan peluang saja. Peluang seperti di atas disebut juga dengan peluang teoretik atau peluang klasik. Peluang kejadian bukan A dinamakan peluang komplemen kejadian A. Ditulis P(A’) atau P(A^c). Jumlah peluang kejadian A dan peluang komplemen kejadian A sama dengan 1 (pasti terjadi). Dengan demikian P(A) + P(A’) = 1 atau P(A’) = 1 – P(A).

Sebagai contoh sebuah dadu dilambungkan sekali. Ruang sampel percobaan adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n(S) = 6. Misalkan A = kejadian muncul mata dadu faktor dari 3, maka A = {1, 3} sehingga n(A) = 2.

Peluang muncul mata dadu faktor dari 3 adalah

 .

Peluang muncul mata dadu bukan faktor dari 3 adalah 

  

CONTOH SOAL:

1.         Ada sebuah dadu lalu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 6!

Jawab:

Banyaknya titik sampel n(s) = 6

Titik sampel dadu bernilai 6 n(A) = 1

Jadi, peluang munculnya mata dadu 6 adalah 1/6

2.    Sebuah kantong terdiri dari 4 kelereng merah, 3 kelereng biru, dan 5 kelereng hijau. Dari kelereng- kelereng tersebut akan diambil satu kelereng. Tentukan peluang terambilnya kelereng berwarna biru !
Jawab  :
Banyaknyaa titik sampel n(s) = 4 + 3 + 5 = 12
Titik sampel kelereng biru n(A) = 3

3.         Dua buah koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul keduanya angka!
Jawab :
Ruang sampelnya yakni  = { (A,G), (A,A), (G,A), (G,G)}
n ( s) = 4
banyaknya titik sampel keduanya angka yakni n (A) = 1

Jadi, peluang muncul keduanya angka adalah  1/4